设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0，证明A可相似对角化。

Question

如题所述

Answer 1

设a是A的特征值, 则 a^2-3a+2 是 A^2-3A+2E 的特征值
而 A^2-3A+2E = 0, 零矩阵的特征值是0
所以 a^2-3a+2 = 0
所以 (a-1)(a-2) = 0
所以 A 的特征值是 1 或 2.

因为 A^2-3A+2E=0
所以 (A-E)(A-2E)=0
所以 r(A-E)+r(A-2E)<=n

又因为 n = r(E) = r[(A-E)-(A-2E)] <= r(A-E)+r(A-2E)
所以 r(A-E)+r(A-2E) = n
所以 [n-r(A-E)] + [n-r(A-2E)] = n.

故齐次线性方程组 (A-E)X=0 与 (A-2E)X=0 的基础解系共含n个向量
所以A有n个线性无关的特征向量
故A可对角化.

Answer 2

注意：方阵A可对角化等价于A的极小多项式没有重根（用Jordan标准型证明）

A的极小多项式是(x-1)(x-2)的因子，显然没有重根追问

方阵A可对角化为什么等价于A的极小多项式没有重根？还有。。Jordan标准型是什么？没有听过。。还有。。极小多项式是什么？。。。。

追答

如果这些都没听说过的话最好是找本教材看看

你的知识比较少，可以用初等变换证明rank(A-E)+rank(A-2E)=n，所以A有完全特征向量系（因为A的特征值只可能是1或2）

Answer 3

若A可以相似对角化则
Aa=xa
A^2-3A+2E=0
(x^2-3x+2)a=0
a为特征向量非0，则
A的特征值x只能是1,2追问

题目要证明的是可相似对角化。。。

Answer 4

A^2-3A+2E=0
(A-E)(A-2E)=0
|A-E|=0 |A-2E|=0追问

然后呢？