高数题，函数在［-1,1］上有定义，f（0）=0,f’（0）=0，且在x=0的某个邻域内有二阶连续

Question

高数题，函数在［-1,1］上有定义，f（0）=0,f’（0）=0，且在x=0的某个邻域内有二阶连续导数。证明：二阶导数在这个邻域内有界。

Answer 1

题目设定的条件f(x)是连续函数，而且满足泰勒公式的条件。
根据泰勒公式，对任意 -1<=x<=1,
有 f(x)=f(0)+f'(0)x+（1/2）×f''(tx)x^2=（1/2）f''(tx)x^2, 其中 0<t<1.
因为有界闭区间上的函数一定有界，题目又假设f''(x)在x=0的邻域内连续，所以
f''(x)=2*f(x/t)/(x/t)^2 有界。