已知函数f（x）的定义域为R，若函数f（x)是奇函数，f（x+1）是偶函数，则函数f（x）的周期是？

Question

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Answer 1

因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
又，y=f(x+1)为偶函数，所以y=f(x)关于x=1对称，即f(1-x)=f(1+x)
用x+1替换x得f(-x)=f(2+x)
又f(-x)=-f(x)
所以f(2+x)=-f(x)
用x+2替换x,得f(4+x)=-f(x+2)
上面两式联立得，f(4+x)=f(x)
所以周期为4

Answer 2

周期是4，解答如下
f（x+1）是偶函数因此f(-x+1)=f(x+1)，f（x)是奇函数因此f(-x+1)=-f(x-1)=f（x+1）,得到-f(x-1)=f（x+1）(1),
将此式中x用x+2替代得-f(x+1)=f(x+3),(2)
将（2）式带到（1）式得f(x-1)=f(x+3),用x+1替代 x得f(x)=f(x+4),周期是4

Answer 3

∵y=f(x)为奇函数
∴ -f(-x) = f(x)……①

∵y=f(x+1)为偶函数
∴f(x+1)=f(-x+1) …… ②
用-x-1替代x，得：
f(-x) = f(x+2) ……
得：
f(x) = -f(x+2)

额，貌似不是周期函数啊