做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90�0�2,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90�0�2.
∴ ∠HEF = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90�0�2,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90�0�2.
又∵ ∠GHE = 90�0�2,
∴ ∠DHA = 90�0�2+ 90�0�2= 180�0�2.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于 . 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90�0�2.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90�0�2,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90�0�2.
∴ ∠DEC = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于 .
又∵ ∠DAE = 90�0�2, ∠EBC = 90�0�2,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90�0�2.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90�0�2.
即 ∠CBD= 90�0�2.
又∵ ∠BDE = 90�0�2，∠BCP = 90�0�2，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90�0�2，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90�0�2，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90�0�2，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90�0�2.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90�0�2，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90�0�2，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于 ，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 = .
同理可证，矩形MLEB的面积 = .
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90�0�2，
∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 .
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .
∴ ，即 .
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90�0�2，∠PAC = 90�0�2，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90�0�2，∠DHF = 90�0�2，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90�0�2，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
①
∵ = ，
，
∴ = . ②
把②代入①，得
= = .
∴ .
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90�0�2，
∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90�0�2，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90�0�2，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90�0�2，
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90�0�2，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90�0�2，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90�0�2，∠BAE + ∠CAR = 90�0�2，∠AQM = ∠BAE，
∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90�0�2，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴
=
= ，
即 .
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90�0�2，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=
=
= ，
即 ，
∴ .
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
∴ ，即 ，
∴ .
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,
即 ，
∴ .
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ∴ .
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设 ，即假设 ，则由
= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，则
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90�0�2，
∴ ∠ADC≠90�0�2，∠CDB≠90�0�2.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.
∴ .
【证法15】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90�0�2，CM = a，
∠AED = 90�0�2， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180�0�2，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90�0�2，
∴ ∠ADC = 90�0�2.
∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90�0�2，
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90�0�2，BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ ， ， ，
，
∴
=
=
=
∴ .
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90�0�2,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90�0�2.
∴ ∠HEF = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90�0�2,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90�0�2.
又∵ ∠GHE = 90�0�2,
∴ ∠DHA = 90�0�2+ 90�0�2= 180�0�2.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于 . 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90�0�2.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90�0�2,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90�0�2.
∴ ∠DEC = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于 .
又∵ ∠DAE = 90�0�2, ∠EBC = 90�0�2,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90�0�2.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90�0�2.
即 ∠CBD= 90�0�2.
又∵ ∠BDE = 90�0�2，∠BCP = 90�0�2，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90�0�2，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90�0�2，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90�0�2，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90�0�2.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90�0�2，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90�0�2，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于 ，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 = .
同理可证，矩形MLEB的面积 = .
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90�0�2，
∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 .
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .
∴ ，即 .
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90�0�2，∠PAC = 90�0�2，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90�0�2，∠DHF = 90�0�2，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90�0�2，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
①
∵ = ，
，
∴ = . ②
把②代入①，得
= = .
∴ .
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90�0�2，
∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90�0�2，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90�0�2，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90�0�2，
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90�0�2，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90�0�2，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90�0�2，∠BAE + ∠CAR = 90�0�2，∠AQM = ∠BAE，
∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90�0�2，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴
=
= ，
即 .
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90�0�2，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=
=
= ，
即 ，
∴ .
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
∴ ，即 ，
∴ .
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,
即 ，
∴ .
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ∴ .
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设 ，即假设 ，则由
= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，则
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90�0�2，
∴ ∠ADC≠90�0�2，∠CDB≠90�0�2.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.
∴ .
【证法15】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90�0�2，CM = a，
∠AED = 90�0�2， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180�0�2，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90�0�2，
∴ ∠ADC = 90�0�2.
∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90�0�2，
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90�0�2，BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ ， ， ，
，
∴
=
=
=
∴ .
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第1个回答 2020-03-02
第2个回答 2013-08-19
第3个回答 2013-08-19
第4个回答 2022-12-01
加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法
例，如下图：
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
扩展资料
性质：
1、勾股定理的证明是论证几何的发端；
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值，这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。
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