某杆质量为M,长度为L,角速度为W,杆的一端固定,求杆的动能？（请用微积分解答！！）

Question

一定要用微积分解答，采纳答案清楚者（最好要有图片公式）

Answer 1

解：设单位长度的质量b=M/L==>M=bL ,以固定端为原点，建立沿着杆方向的直线坐标系O-x，距离原点x处，选择一质量微元dm=b*dx（意思是，对于趋于零的杆上的小段，可以看作质点），该微元的动能为

d(Ek)=0.5*(dm)*v^2   <1>    v=w*x    <2>   ==>d(Ek)=0.5*(b*dx)*(w*x)^2=(0.5*b*w^2)*(x^2*dx)

从x=0到x=L，积分得到杆的动能：Ek=0.5bw^2*inf(x,x=0..L)=0.5w^2b*(1/3)*L^3=

(1/6)*w^2*(b*L)*L^2

==>Ek=(1/6)*M*(Lw)^2

当然，若用转动动能Ek=0.5*I*w^2，I=(1/3)*M*L^2（转动惯量），就更快些。

Answer 2

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