关于分段函数求导数的疑问

Question

如图红色部分，我认为，此处不可以直接运用求导公式求，因为你仅仅是 x>0的范围，并不包括x=0,运用求导公式不妥。

因为公式 ( 和差积商的导数公式 ) 也是从最本质的定义演化出来的，定义公式就是
( f(x)-f(a) ) / ( x - a ),很显然定义公式的意思就是你要知道f(a)。

定义是本源，其他的导数公式是衍生品。导数公式只有在满足定义的条件下，才能够起作用。

同时，蓝色部分，我觉得也说明了这个，求二阶导数的时候，忽然“从良”了，又按定义求了。

我和书本必然有一个错误，我的思考方式是否有问题？

Answer 1

　　你提的的两个问题，书本没有错，错都在你：
　　（1）你画红线的部分没有问题。因为函数在 x>0 时是初等函数，是可导的，因而可以用运算法则求导，这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
　　（2）你画的蓝色部分同样没有问题。因为要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数，只有当左、右导数都存在且相等时，所求的导数才存在。
说得很不客气，希望谅解。追问

首先十分感谢你的回答。
但是我还是没有明白，如果蓝色部分需要用定义来求解，是因为 f ' (x) 在两端有不同的表达式的话。那么，红色部分也是同样的状况啊， f(x)在0的两端也有不同的表达式。 我不明白，两者有着类似的条件，却用不同的方法，是为什么？

追答

说过了，红色部分只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x<0 的的表达式无关。

追问

抱歉，我还是不理解。
同样是求导，同样是分段函数，同样是 x0,同样两端有不同的表达式，为什么方法却不一样呢？
这两者的条件都相同。
唯一不同的，大概是 一阶导数 和 二阶导数 的关系了。是不是二阶导数和一阶导数的处理方法不同导致的？

追答

　　回答你的问题：
　　（1）重申：红色部分求的是 x>0 时的导数，只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x<0 的的表达式无关。
　　（2）不管是二阶导数还是一阶导数，处理方法都是一样的。

追问

那么，蓝色部分应该是求 x>0时候的二阶导数了吧，为什么却和x=0处的值有关？

追答

蓝色部分是要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求在 x=0 处左、右导数，如求左导数，要考虑极限
lim(x→-0)[f'(x)-f'(0)]/x，
这里涉及到f'(0)和f'(x) (x0)。

追问

感谢您的不厌其烦的解答。追问有字数限制，我做成图片了。矛盾的焦点在于，相同的条件，不同的解答方法。稍加替换，感觉红色和蓝色没有区别。

追答

这句话回答过了：不管是二阶导数还是一阶导数，处理方法都是一样的，就是n阶导数也一样。

追问

但是红线部分和蓝线部分的处理方法不一样。

追答

　　这句话也回答过了：
　　（1）红线的部分：因为函数在 x>0 时是初等函数，是可导的，因而可以用运算法则求导，这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
　　（2）蓝色部分：因为要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数，只有当左、右导数都存在且相等时，所求的导数才存在。

追问

x>0时候，红线部分和蓝线部分都是初等函数

2.红线在x=0两端有不同的表达式，蓝线也是如此。

追答

　　（1）红线的部分：只需考虑 x>0 时函数的表达式，与函数在 x=0 处是否有值没关系，更和 x<0 的的表达式无关。
　　（2）蓝色部分：因为要在 x=0 处求二阶导数，而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式，所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数，只有当左、右导数都存在且相等时，所求的导数才存在。
　　建议你亲自动手做一遍，才会有体会，才会真懂。
数学史 “做” 懂的，不是 “看” 懂的！