在无尽的数学领域中，闭区间套定理如同一座精致的桥梁，将看似独立的数学概念如戴德金分割和戴德金定理紧密相连。我们首先定义一个概念：无穷多个闭区间，每个区间（<infinitesimal intervals>）满足两个关键条件：
1. 内在收敛：后一个区间（<subsequent interval>）严格嵌套在前一个区间（<preceding interval>）之内，形成一个递进的序列。
2. 极限趋近零：随着区间数量的无限增加，每个区间的长度趋向于零，这体现了数学的无穷精细。
当这些区间集合被赋予这种特殊结构时，我们称其为闭区间套，它隐藏着一个重要的定理：
闭区间套定理的精髓：对于任何一个闭区间套，总存在且唯一存在一个实数，这个实数是所有区间共同的极限点，即闭区间套的交集点。用直观的话来说，这个点像是一个无形的锚，无论区间如何缩小，它始终位于所有区间的中心地带。
进一步推演，我们可以得出一个引人深思的结论：
区间套的邻域特性：如果某点是闭区间套的公共点，那么在该点的任意邻域内，将包含无穷多个闭区间。这暗示着，这个点在数轴上的位置是极其关键的，它定义了无数个区间的存在和位置关系。
让我们再来看看如何将这个定理应用到数列（序列）的极限证明中：
利用闭区间套的定义，我们构造两个数集：一个包含所有小于某值的实数，另一个则包括其余实数。这样的划分产生了一系列不等式：
通过对这个分界点的深入分析，我们发现，无论这个点是<set A>的最大值还是<set B>的最小值，它都是所有区间套的共同终点，因此，对于任意给定的精度，总能找到一个足够小的区间，其边界包含这个分界点。
最后，我们得出结论，这个分界点是<set A>和<set B>的极限，证明了闭区间套定理在数列极限理论中的强大威力。