线性代数：非齐次线性方程组的求通解方法，想知道蓝色部分是怎么得出来的，

Question

是用到了，Ax=b的任意一个解一定可以写成Ax=b的任意一个特解和其导出组Ax=0的某个解之和，这么一个因为嘛？

Answer 1

这个是定理，很好证明的：设x为Ax=b的解，x'为Ax=0的解，则Ax+Ax‘=A（x+x’）=b+0=b，所以x+x’是Ax=b的解；另一方面，如果x1，x2是方程Ax=b的解，则Ax1-Ax2=A（x1-x2）=b-b=0，所以x1-x2是方程Ax=0的解。综上，知：Ax=b的任意一个解一定可以写成Ax=b的任意一个特解和其导出组Ax=0的某个解之和追问

这是书上的定理我知道，但是不太明白，具体的过程是怎么一回事。平白出来一个特解。。。能通俗的说一下嘛，举个容易点的例子。

追答

就你提的问题上的例子吧。当A=0时，方程Ax=b的解是有无穷个的，但每个解都有x+x’的形式，其中，x可以是方程Ax=b无穷个解中的任何一个解，x‘是方程Ax=0的解，因此，只要我们找到符合Ax=b的一个解x2，Ax=b的其它解就能有x2+x'的形式；
上面的题中，x2，x3不一定取0，它们可以取到任何值，均能找到满足方程的x1，特解可以任何选择，例如x2=0，x3=2，则特解为（5,0,2，-1，-2）。取零只不过让表达式简便
x’由方程Ax=0确定，由A=0，x‘也有无穷个的，具体参照教材

Answer 2

这个是定理，即非齐次线性方程组Ax=b的通解可以表示为非齐次一个特解和齐次方程组Ax=0的通解之和
要点：两个非齐次解的差必是齐次解
若Ax=b,Ay=b则Ax-Ay=b-b=0故A(x-y)=0

Answer 3

把增广矩阵(A,b)换成行最简形(B,c)后，方程组Ax=b化成了Bx=c，相应的齐次线性方程组Ax=0化成了Bx=0。
Bx=c中的自由未知量取定一组值(本题就是x2=x3=0)，得到η*，是Bx=c的解，也就是Ax=b的解。
再求Ax=0的基础解系，解Ax=0，也就是Bx=0，此为蓝色部分。