当矩形的顶点位于斜边中点时矩形面积最大。
三角形两直角边为a、b，设矩形在直角边a上面的长为X，根据相似三角形性质，可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a，那么矩形面积S=X(a-X)b/a。于是得到一个二次函数：S=-b/aX^2+bX。
这个二次函数的最大值，因为式子中所有值均为正值，这是一个开口向下的二次函数，有最大值，根据二次函数性质，X=-b/2(-b/a)，解得X=a/2，也就是说X的长度是a的一半，那么P也是斜边上的中点。
例如：设矩形的长宽 各为 A，B，则有A+B=15。则矩形的面积为S=AX（15-A） 整理可得到S=-A^2+15A。要让S取最大值，则必须让-A^2+15A取极值。整理得S=-（A-15/2）^2+(15/2）^2也就是说只有当A=B=7.5的时候，矩形的面具最大。
正方形是特殊的长方形，边长一定的长方形，正方形面具最大。
当三角形的内接矩形的一边长等于它所对的该三角形的边长的一半时（也可认为当三角形内接矩形的一边是三角形的一条中位线时），内接矩形的面积最大，最大面积等于该三角形面积的一半。
特别地，当直角三角形内接矩形的一边长等于直角三角形斜边或两直角边长的一半时（这取决于内接矩形的摆放方式），内接矩形的面积最大，最大面积等于该直角三角形面积的一半。
若四边形的四个顶点都在三角形的边上，则称该四边形为此三角形的内接四边形.特别地，当该四边形为矩形时，称此四边形为此三角形的内接矩形。
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第1个回答 2013-10-03
看图：
当P点为AB边中点时，其内接矩形面积最大=10.79
第2个回答 2013-10-03
三角形两直角边为a、b，设矩形在直角边a上面的长为X，
根据相似三角形性质，可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a，
那么矩形面积S=X(a-X)b/a。于是得到一个二次函数：S=-b/aX^2+bX；
求这个二次函数的最大值，因为式子中所有值均为正值，这是一个开口向下的二次函数，有最大值，
根据二次函数性质，X=-b/2(-b/a)，解得X=a/2，也就是说X的长度是a的一半，那么P也是斜边上的中点,
也就是说，当矩形的顶点位于斜边中点时矩形面积最大。本回答被提问者采纳
根据相似三角形性质，可以得到矩形另一边的长为：(a-X)b/a，
那么矩形面积S=X(a-X)b/a。于是得到一个二次函数：S=-b/aX^2+bX；
求这个二次函数的最大值，因为式子中所有值均为正值，这是一个开口向下的二次函数，有最大值，
根据二次函数性质，X=-b/2(-b/a)，解得X=a/2，也就是说X的长度是a的一半，那么P也是斜边上的中点,
也就是说，当矩形的顶点位于斜边中点时矩形面积最大。本回答被提问者采纳
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