第1个回答 2013-09-09
代数不等式的解法�6�1例题
例5-3-1 解不等式16x+x4-x5<16。
解 原不等式可同解变形为
x5-x4-16x+16>0。
左边分解因式,得同解不等式
(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)>0
用数轴标根法,得不等式的解集为{x|-2<x<1或x>2}。
注 解实系数一元高次不等式,可先把最高次项的系数化为正数,并使右边为0,再通过因式分解,将左边变形,最后用数轴标根法求解集。
例5-3-2 (1)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,α)∪(β,+∞)。求ax2+bx+c>的解集,并说明b的取值范围a,c的关系;
(2)若a<0,解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2>0。
解 (1)由题设知,a<0。所以,
(x-α)(x-β)<0
由此可知,当α≠β时,不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β};当α=β时,不等式无解。
又由题设a<0,且b2-4ac≥0,即b2≥4ac。因此,当c≥0时,有4ac≤0,这时b可取任意实数;当c<0时,则4ac>0,这时
(2)由于a<0,从而a-1<0,故所给不等式同解于
若b=0,此不等式即为x2<0。这时无解;
解集为
注 解一元二次不等式时,应充分利用二次函数的图象,通过形数结合,提高解题的速度。
解 [法一] 移项、化简,原不等式同解于
(x+1)x(x-1)(x-3)<0
由下图可知,原不等式的解集是
{x|-1<x<0或1<x<3}
[法二] 原不等式同解于不等式组
故(Ⅰ)的解集为{x|1<x<3};(Ⅱ)的解集为x|-1<x<0。从而所求解集为
{x|1<x<3}∪{x|-1<x<0}={x|1<x<3或-1<x<0}
注 将不等式同解变形为不等式组时,要注意区分解集的“交”、“并”关系。
例5-3-4 解下列不等式:
解 (1)原不等式同解于不等式组
解不等式组(Ⅰ),得0<x<1,(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是
{x|0<x<1}
(2)令t=x2-x,则原不等式化为
此不等式的允许值集确定于不等式组
另一方面,不等式(i)可化为
注 解含根式的不等式,关键在于去掉根号,使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法,有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法,都要注意转化的同解性。
例5-3-5 解下列不等式:
解 (1)原不等式可化为
(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为
两边立方,得
化简并整理后即为
解前一不等式组得x>4;后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x>4}。
例5-3-6 解关于x的不等式:
当a<0时,由(i)得t>1-a>0,即
当a=0时,(i)无解;
于是,
当a≥1时,(i)无解。
综上所述,当a<0时,原不等式的解集为
当a=0或a≥1时,原不等式无解。
注 本例既涉及变量代换,又涉及参数的讨论,综合性较强,但并不需要高超的技巧,按常规方法即可解决。关键是变量代换,难点是严
间,要认真领会。