因为 A^2=A
所以 A 的
特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)<=n
又因为 n=r(E)=r(A+E-A)<=r(A)+r(E-A)
所以 r(A)+r(E-A)=n.
即有 n-r(A) + n-r(E-A) = n.
所以 AX=0 的
基础解系 与 (E-A)X=0 的基础解系 共有n个向量
所以A有n个线性无关的
特征向量所以A可对角化.
又由 r(A)=r
所以A的特征值为 1,...,1,0,...,0 (r个1, n-r个0)
--可对角化的
矩阵的秩等于矩阵的非零特征值的个数
所以A的相似对角形矩阵为 diag(1,...,1,0,...,0)
又因为 A+E 的特征值为 2,...,2,1,...,1
所以 |A+E| = 2^r.