高中数学 某函数压轴题

Question

重点是第二题

Answer 1

已知f(x)=x^2+|x-a|+1
(1)若f(x)是偶函数，求a值
(2)求f(x)的最小值。
(1)解析：∵f(x) =x^2+|x-a|+1是偶函数
周知，二个偶函数之和必为偶函数，g(x)=x^2+1为偶函数
所以：h(x)=|x-a|一定为偶函数
即，h(x)=|x+a|=|x|
∴a=0
(2)解析：∵f(x) =x^2+|x-a|+1
将函数f(x)写成分段函数
X<a时，f(x) =x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
X>=a时，f(x) =x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
∴当|a|<1/2==>-1/2<a<1/2时，f(x)的最小值为f(a)=a^2+1
当|a|>=1/2==>a<=-1/2或a>=1/2时，f(x)的最小值为|a|+3/4

Answer 2

呵呵，外表的话你不要有压力，自信的女生最美丽嘛。川外的日语英语都挺不错的

Answer 3

2、f(x)={x^2+x-a+1,x≥a
x^2-x+a+1,x＜a
再分段讨论：
(1)当x≥a时，f(x)=(x+1/2)^2-a+3/4
当a≤-1/2时，f(x)min=f(-1/2)=-a+3/4
当a＞-1/2时，f(x)min=f(a)=a^2+1
(2)当x＜a时，f(x)=(x-1/2)^2+a+3/4
当a＞1/2时，f(x)min=a+3/4
当a≤1/2时，f(x)min=f(a)=a^2+1
再进行统一讨论：
当a≤-1/2时，在x≥a时，f(x)min=-a+3/4，在x＜a时，f(x)min=a^2+1
∵-a+3/4≤a^2+1
∴a≤-1/2时,f(x)min=-a+3/4
当-1/2＜a≤1/2时，在x≥a时，f(x)min=a^2+1，在x＜a时，f(x)min=a^2+1
∴-1/2＜a≤1/2时，f(x)min=a^2+1
当a＞1/2时，在x≥a时，f(x)min=a^2+1，在x＜a时，f(x)min=a+3/4
∵a^2+1≥a+3/4
∴a＞1/2时，f(x)min=a+3/4

Answer 4

第一问：
根据函数是偶函数，f(-x)=f(x)
(-x)^2+|-x-a|+1=x^2+|x-a|+1
|x+a|=|x-a|
(x+a)^2=(x-a)^2
整理，得
4ax=0
对于一切实数x，要使等式恒成立
只有a=0

第二问：
三种情况：a<=-1/2，-1/2<a<1/2和a>=1/2，有三解

当x<=a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
若a<1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减，从而，函数在（-∞，a]的最小值为f(a)=a^2+1
若a>=1/2，则y在（-∞，a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x>=a，f(x)=x^2+2x-a+1=(x+1/2)^2+a+3/4
所以
当a<=-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a>-1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a2+1

所以①②知，
当a<=-1/2 最小值为3/4-a
当-1/2<a<1/2，最小值为a^2+1
当a>=1/2，最小值为a+3/4

如果有不对的地方请大神指正

Answer 5

(2)一、x>a，则f(x)=X^2+X-a+1=(x+1/2)^2+3/4-a，最小值：3/4-a
二、x<a，则f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+3/4+a，最小值：3/4+a
三、x=a，则f(x)=x^2+1=a^2+1，最小值：1

Answer 6

1.
函数是偶函数，f(-x)=f(x)
(-x)^2+|-x-a|+1=x^2+|x-a|+1
|x+a|=|x-a|
(x+a)^2=(x-a)^2
整理，得
4ax=0
对于一切实数x，等式恒成立，只有a=0
2.
需要根据a的取值分类讨论。