若函数y=f(x)如果存在给定的实数对（a,b）使得f(a+x).f(a-x)=b恒成立，则称y=f(x)为Ω函数

Question

判断下列函数是否为Ω函数，并说明理由
f(x)=x^3 f(x)=2^x
已知函数f(x)=tanx是一个Ω函数，求出所有的有序实数对（a,b）

Answer 1

解：（1）①若f（x）=x^3 是“Ω函数”，则存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b，
即（a^2-x^2)^3=b时，对x∈R恒成立
而x^2=a^2-3^√b (指的是“a的平方-b开立方根”) 最多有两个解，矛盾，
因此f（x）=x^3 不是“Ω函数”
②若f（x）=2^x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2^(a+x)•2^(a-x)=2^(2a)，
即存在常数对（a，2^(2a)）满足，因此f（x）=2^x是“Ω函数”
解：函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，
设有序实数对（a，b）满足，则tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立
当a=kπ+π/2 ，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²x，不是常数；
因此a≠kπ+π/2，k∈Z，当x≠mπ+π/2，m∈Z时，
则有(btan²a-1)tan²x+(tan²a-b)=0恒成立，
所以btan²a-1=0且tan²a-b=0
∴tan²a=1，b=1
∴a=kπ+π/4 ，k∈Z，b=1
∴当x=mπ+π/2，m∈Z，a=kπ±π/4时，tan（a-x）tan（a+x）=cot2a=1．
因此满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的实数对（a，b）=（kπ±π/4，1），k∈Z

过程。。。望采纳，若不懂，请追问。

Answer 2

f(x)=x^3
f(a+x)f(a-x)=(a+x)^3(a-x)^3=(a^2-x^2)^3, 由于 (a^3-x^2)^3不可能是固定的实数，所以f(x)不是Ω函数

f(x)=2^x
f(a+x)f(a-x)=2^(a+x)*2^(a-x)=2^(2a), 所以有b=2^(2a), 因此f(x)为Ω函数

tanx是一个Ω函数，
则对任意x,有tan(a+x)tan(a-x)=b
令x=π/2,得：(ctana)^2=b
令x=π,得：(tana)^2=b
两式相乘得：b=1, 因此a=kπ±π/4, k为任意整数
经验算tan(kπ±π/4+x)tan(kπ±π/4-x)=tan(±π/4+x)tan(±π/4-x)=tan(±π/4+x)*ctan((±π/4+x)=1, 成立。
所以所有的有序对(a,b)为( kπ±π/4, 1)