1如图①,D是等边△ABC边BA上一动点,连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,证明AF与BD的关系，

Question

2如图2，当动点D运动到等边△ABC的边BA的延长线上时，其作法与1相同，猜想AF与BD在1的结论是否成立？

Answer 1

⑴∵ΔABC与ΔCDF都是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠FCD=60°，CD=CF，

∴∠ACB-∠ACD=∠FCD-∠ACD，即∠BCD=∠ACF，

∴ΔBCD≌ΔACF，

∴BD=AF。

⑵结论依然成立。

理由：

∵ΔABC与ΔCDF都是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠FCD=60°，CD=CF，

∴∠ACB+∠ACD=∠FCD+∠ACD，即∠BCD=∠ACF，

∴ΔBCD≌ΔACF，

∴BD=AF。

Answer 2

（1）答：AF=BD
证明：∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC,∠ACB=60°
∵△CDF为等边三角形
∴CD=CF,∠DCF=60°
∴∠ACB=∠DCF
∴∠BCD=∠ACF
在△BCD和△ACF中
∵BC=AC
∠BCD=∠ACF
CD=CF
∴△BCD全等于△ACF(SAS)
∴AF=BD
（2）答：AF=BD
证明：∵△ABC和△DCF是等边三角形
∴AC=BC,DC=CF，∠ACB=60°，∠DCF=60°
∴∠BCD=∠ACF
在△BCD和△ACF中
∵BC=AC
∠BCD=∠ACF
CD=CF
∴△BCD全等于△ACF(SAS)
∴AF=BD

Answer 3

解：（1）AF=BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC
∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；

（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；

（3）①AF+BF′=AB；
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
②：①中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
BC=AC，∠BCF′=∠ACD，F′C=DC
∴△BCF′≌△ACD（SAS），

∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．