能举一个特征值的代数重数大于几何重数的例子吗？

Question

如题所述

Answer 1

考虑某个特征值s’的特征子空间V'，V'的维数就是s’的几何重数m，再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成），扩充这组基为原n维空间V的一组基，线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式，对应的特征多项式显然是包含因子（s-s')^m的，所以s'就是特征多项式的至少m重根，也就是“代数重数大于等于几何重数”。摘抄的，望能帮到你

Answer 2

A=
1 1
0 1

特征根1， 代数重数 2. 特征向量空间 维数1。 （只有 (0,a)^T 为特征向量）追问

那么实对称矩阵的特征值必有几何重数等于代数重数吗？为什么？

追答

是。因为实对称矩阵可以对角化。

追问

我其实就是想问在对角化的时候，为什么默认两个重数相等啊？可以证明吗？或者说满足什么条件的矩阵的特征值两个重数相等？如果能给出说明的话，我会加分的~

追答

满足可对角化条件的矩阵的特征值两个重数相等。

可对角化 意味着存在n个特征向量，构成空间的基。也就说明所有特征根的几何重数相加等于空间维数也就等于所有特征根的代数重数之和。
而对每个特征根，总有： 代数重数总>=几何重数。
于是必有：对每个特征根，代数重数总=几何重数。

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