关于傅氏变换、拉氏变换和z变换（复习版）

Question

如题所述

Answer 1

揭示傅里叶、拉普拉斯与z变换的神秘联系

一、变换间的桥梁

从连续到离散，傅里叶与拉普拉斯的关系犹如桥梁。拉普拉斯变换，作为广义傅里叶变换的扩展，是信号经过实信号调制后的傅里叶变换精华。当信号在时域中为实函数，拉普拉斯变换即等同于傅里叶变换，尤其当频率域为实数时。而z变换，正是拉普拉斯变换对理想抽样信号的特殊应用，它揭示了连续与离散信号在z平面和s平面间的对应关系。

二、经典变换对

傅里叶变换对: 例如，阶跃函数的傅里叶变换，定义为1/(1-jω)，对于正弦函数，其变换为sin(ωt)在ω=0的拉普拉斯形式。
拉普拉斯变换对: 比如，斜坡信号的拉普拉斯变换为1/(s-1)，单位冲激信号在s域的表达式为1/s，正弦函数则收敛于1/(s^2+ω^2)。
z变换对: 重要的是理解收敛域，如单位冲激序列的z变换为1/(1-z^-1)，随z的不同，其展开形式各异。

三、变换性质与系统特性

拉普拉斯与傅里叶变换拥有相似的性质，如尺度变换与频移，但拉普拉斯的初值与终值定理独具特色。z变换则涉及离散序列的特性，如左移和右移的处理方法。判断系统因果性和稳定性，如极点位置：在s平面左半平面的系统稳定，而在单位圆内的极点表示z变换系统的因果性。

四、滤波特性解读

滤波器特性通过系统函数零极点分布体现。例如，实轴上的零点表示低通，复数极点意味着带通。记住这个口诀：分子决定通频，分子与分母次数相同为高通，中间次数则为带通。通过零极点图和波特图，可以对滤波器进行直观判断。

低通滤波器：零点在实轴，如1/(1+ω^2)，对应于简单的零极点分布，如下图所示。
带通滤波器：极零点为复数，如1/(1-ω^2)，其波特图显示了带通特性。

总结与延伸阅读

深入理解傅里叶、拉普拉斯和z变换，不仅有助于信号处理的理解，还能应用于实际问题的分析。继续探索，了解更多关于变换的技巧和应用，如知乎文章（链接已被移除）和CSDN博客（链接已被移除），它们能为你提供更丰富的视角和实践案例。