2022的2023的2024次方除以7的余数为多少呢？

Question

如题所述

Answer 1

2022=288×7+6=289×7-1=a-1，其中a=2023，是7的倍数。
根据二项式定理，（a-1）^n,
=a^n-C(n,1)a^(n-1)+C(n,2)a^(n-2)-...+(-1)^(n-1)C(n,n-1)a+(-1)^n
除了最后一项，都有因数a，都是7的倍数，所以，（a-1）^n，除以7的余数，就是(-1)^n.
n是偶数时，余数为1，好理解；n是奇数时，余数是-1，如何理解？
就是商多上1，余数不够减，减的结果是-1，把多商的1减去，多出1个7，加-1，就是6，余-1，就等同于余6.
比如，一开始写的，2022=288×7+6，2022除7商288余6，2022=289×7-1，就是2022除7商289，余-1。因此，余6与余-1是等效的。
现在，n=2023^2024次方，奇数的任何次方，还是奇数（证法也是用二项式定理，同上），因此，n=2023^2024是奇数，从而(-1)^n=-1。
所以2022^(2023^2024)除7的余数是-1，也就是余6.

Answer 2

我们可以使用取模运算来求出2022的2023的2024次方除以7的余数。
已知2022的2023的2024次方为：
$2022^{2023 \times 2024}$
已知7为模数，求余数，可以使用以下公式：
$余数 = (被除数 \div 除数) \mod 模数$
根据公式，可得到2022的2023的2024次方除以7的余数为：
$(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((2022^{2023} )^{2024} ))^{7} )) \mod 7)$
计算可得：
$(((2022^{2023} )^{2024} )^{7} ) \mod 7 = 1$
所以，2022的2023的2024次方除以7的余数为1。