已知抛物线y=4/3x^2+bx+c经过点A（3,0）B（0，4）两点（）诺抛物线与x轴交另一个交点C求C关于AB对称点C'

Question

如题所述

Answer 1

解：∵抛物线y=4x^2/3+bx+c经过点A（3,0）、B（0，4）
∴4*3^2/3+3b+c=0 ①
0+0+c=4 ②
联立①②形成方程组并解之得：
b=-16/3，c=4
∴抛物线为：y=4x^2/3-16x/3+4
又C点为抛物线与x轴的另一交点，即：4x^2/3-16x/3+4=0
解之得：x=1，x=3，
∴C点坐标为（1,0）
又直线AB的方程为：y=-(4x/3)+4
c'是c点关于AB的对称点，
∴直线cc'过C点且于直线AB垂直，并有C点到直线AB的距离与C'点到直线AB的距离相等。
∴CC'的斜率=3/4
∴直线CC‘的方程为：y=(3x/4)-3/4=3(x-1)/4
∴C点到直线AB的距离L=I-(4/3)+4I/√[（-4/3)^2+(-1)^2]
=8/5
设C’点的横坐标为m(m>0)，则C‘点的纵坐标为3（m-1)/4，
同理，C’点到直线AB的距离L‘=I(-4m/3)-[3(m-1)/4]+4I/√[(-4/3)^2+(-1)^2]
=I-25m+64I/20
∴L=L’，即：8/5=I-25m+64I/20
解之得：m=96/25，m=32/25(不符合题意，舍去)
∴总坐标为：3(m-1)/4=213/100
所以C点的坐标为（96/25，213/100)

Answer 2

解：设点C'为(xo,yo)
依题意，有
4/3*9+3b+c=0
c=4
=>b=-16/3
=>抛物线为：y=4x²/3-16x/3+4=4/3*(x²-4x+3)=4/3*(x-1)(x-3)
=>C点为(1,0)
对于直线AB，其斜率k(AB)=-4/3
=>l(AB)：y=-4/3*(x-3)
点C'与点C关于直线AB对称，则直线AB必垂直平分C'C，两直线的交点为([xo+1]/2,yo/2)
由(-4/3)*yo/(xo-1)=-1，yo/2=-4/3*[(xo+1)/2-3]
=>xo=29/13,yo=12/13
=>C'点为(29/13,12/13)