高一幂函数4

Question

f(x)=【a/（a^2-2)】乘（a^x-a^(-x))，a>0且a不等于1，

判断奇偶性、证明
若y=f(x)在R上位增函数，求a范围

Answer 1

解：
f(x)=[a/(a²-2)][a^x-a^(-x)]
f(-x)=[a/(a²-2)][a^(-x)-a^x]=-f(x)
所以f(x)是奇函数
对f(x)求导
f'(x)=[a^x+a^(-x)](alna)/(a²-2)
f(x)为增函数，f'(x)＞0
[a^x+a^(-x)](alna)/(a²-2)＞0
a＞0,a^x+a^(-x)＞0
即不等式变为(lna)/(a²-2)＞0
①当0＜a＜1
该不等式等同于a²-2＜0 则-√2＜a＜√2
解得0＜a＜1
②当a＞1
该不等式等同于a²-2＞0
解得a＞√2
综合①②a的范围是(0,1)∪(√2,+∞)追问

求导是什么？我们还没学到啊

追答

哦 那么我们用单调性的定义证明
不妨设定义域内的任意两个实数 0＜x1＜x2
f(x)在定义域内是增函数
那么f(x1)-f(x2)＜0
f(x1)-f(x2)=[2/(a²-2)]{[a^x1-a^(-x2)]-[a^(-x1)-a^(-x2)]}
=[2/(a²-2)](a^x1-a^x2)[1+a^(-x1-x2)]
＜0
因为1+a^(-x1-x2)＞0恒成立
则不等式等同于[2/(a²-2)](a^x1-a^x2)＜0
左边=[2/(a²-2)]·a^x1·[1-a^(x2/x1)] a^x1＞0
于是不等式又等同于[2/(a²-2)]·[1-a^(x1/x2)] ＜0
0＜x1/x2＜1 于是我们要讨论底数a的大小
①当0＜a＜1 1-a^(x1/x2)]＞0
该不等式等同于a²-2＜0 则-√2＜a＜√2
解得0＜a＜1
②当a＞1 1-a^(x1/x2)]＜0
该不等式等同于a²-2＞0
解得a＞√2
综合①②a的范围是(0,1)∪(√2,+∞)

Answer 2

1.判断奇偶性，很简单，求f(-x)，易得f(-x)=-f(x)，因此f(x)为奇函数。
2.判断函数的单调性，就是对函数进行求导，导函数大于等于零就是原函数的单调递增区间。
原函数的导函数为f '(x)=(a*lna)*(a^x+a^(-x))/(a^2-2) (注：a^x的导函数为a^x*lna)
要使y=f(x)在R上位增函数，则x在R上都有f '(x) >=0，这样可以解得a>1且a≠√2

Answer 3

f(-x)=【a/（a^2-2)】乘（a^(-x)-a^(x))=-f(x)所以为奇函数