例1.（2010年绵阳市）．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1．
二、一元二次方程与反比例函数综合
例2（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
解: 设方程的两个根为，，
根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，
那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5
点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目
三、一元二次方程与二次函数综合
例3（2008年湖北荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．
分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．
解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p，
∵m+2＞2＞0
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．
（2）∵OC=OB，S△AOB = OA?OB，
∴S△AOB= OA?OB= P?（m+2-p），
=-P2+ （m+2）?P，
∴当p==（m+2）时，S△AOB最大．
点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．
四、一元二次方程与不等式综合
例4（2008年湖北荆州市）关于的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是______________________.
分析：因为方程有两实根，所以△=[2（k+1）]2-4k2≥0≥0，又因为关于y的不等式组 y＞-4y＜m有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．
解：∵方程x2+2（k+1）x+k2=0有两实根，
∴△=[2（k+1）]2-4k2≥0，解得k≥- 12；
∵关于y的不等于组有实数解，∴m＞-4
又∵m=-2（k+1），
∴-2（k+1）＞-4，解得k＜1．
∴k的取值范围是得1＞k≥-12．故填空答案：1＞k≥-12．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
五、一元二次方程与概率综合
例5（2010年黄冈市）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.
（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.
分析：（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
（1）其中使方程有实数解共有19种情况：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；故其概率为．
（2）使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．
点评：本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．
六、一元二次方程与几何知识综合
例6（2009年黄石市）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
例7（2010年兰州市）已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
解：∵两圆的半径分别是方程的两根，
∴两圆半径和为5，半径积为6，半径差为 =1，即圆心距等于半径差，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选D．
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