线性代数证明：特征值的几何重数严格大于0

Question

如题所述

Answer 1

这个要看你怎么定义特征值了，对于矩阵（或者说有限维空间上的线性变换）而言一般来讲是用det(A-λI)=0的代数型定义或Ax=λx的算子型定义，只需要对一种定义方式证明。
dim Ker(A-λI) > 0 <=> A-λI不可逆 <=> det(A-λI)=0，所以特征值的几何重数一定大于0。

另外，如果是无限维空间上的线性算子，一定是用Ax=λx来定义特征值的，但一般不讨论重数。追问

是矩阵~
dim Ker(A-λI) > 0 A-λI不可逆 det(A-λI)=0这句看不懂哎，能把证明过程写一下吗？

追答

det(X)0 存在Y使得XY=YX=I
这个总知道的吧，方阵的“非奇异”和“可逆”是等价的
证明比较罗嗦，自己去看教材

至于 X不可逆 dim Ker(X) > 0
再引进一个等价的条件过渡一下： X不可逆 关于y的方程Xy=0有非零解 dim Ker(X) > 0
前一半是线性方程组的基本结论，可以用初等变换证明，后一半则用Ker的定义

Answer 2

到http://math.stackexchange.com/上面去提问吧。用$\TeX$语言写数学公式，说的清楚一些。