微积分 证明 存在ε,η∈(a,b),使得f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)*e^(-η)/(b-a)

Question

设f(x)在［a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≠0,试证：存在ε，η∈（a,b),使得f'(ε)/f'(η)=（e^b-e^a）*e^(-η)/(b-a)

Answer 1

先利用柯西中值定理
设函数f(x),g(x)=e^x在[a,b]上连续，在（a、b）内可导，且g'(x)≠0(x∈(a,b))，则至少存在一点η∈(a,b), 使得 f'(η)/g'(η)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。
再根据拉格朗日中值定理
函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
将此式代入上式中得出
f'(η)/g'(η)=f'(ξ)*(b-a)/[g(b)-g(a)]
f'(ε)/f'(η)=[g(b)-g(a)]/（b-a)g'(η)
将g(x)=e^x将入其中
f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)/(b-a)e^η
=(e^b-e^a)*e^-η/(b-a)