如图（1），已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点

Question

如图(1)，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在 轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式； (2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作 轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

⑴解：方法一：

　　∵B点坐标为(0．2)，

　　∴OB＝2，

　　∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。

　　设抛物线的解析式为．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

　　得解这个方程组，得

　　∴此抛物线的解析式为 ………… (3分)

　　方法二：

　　 ∵B点坐标为(0．2)，∴OB＝2，

　　∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C点坐标为(一2，2)。 ……… (1分)

　　 根据题意可设抛物线解析式为。 其过点A(0，1)和C(-2．2)

　　 ……… 解这个方程组，得

　　 此抛物线解析式为

　　(2)解：

　　　　　　　　　　　

　　①过点B作BN，垂足为N．

　　 ∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．

　　 ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

　　∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

　　 在RtPNB中．

　　 PB＝

　　∴PB＝PS＝………………………… (6分)

　　②根据①同理可知BQ＝QR。

　　∴，

　　又∵ ，

　　∴，

　　同理SBP＝………………………… (7分)

　　∴

　　∴

　　∴.

　　∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)

　　③方法一：

　　　　　　　　　　　　

　　设，

　　∵由①知PS＝PB＝b．，。

　　∴

　　∴。………………………… (9分)

　　假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。

　　若使△PSM∽△MRQ，

　　则有。

　　即

　　∴。

　　∴SR＝2

　　∴M为SR的中点.………………………… (11分)

　　若使△PSM∽△QRM，

　　则有。

　　∴。

　　∴。

　　∴M点即为原点O。

　　 综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

　　方法二：

　　 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

　　∵，

　　∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

　　 当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

　　 由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。

　　∴。………………………… (9分)

　　 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．……………… (10分)

　　∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

　　∴点M为SR的中点 …………………… (11分)

　　当△PSM∽△QRM时，

　　

　　又，即M点与O点重合。

　　∴点M为原点O。

　　综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；

　　当点M为原点时，PSM∽△Q RM……………………… (13分)

莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/cusan/25143.htm