二次函数y=a（x）的平方+bx+c的图象与性质

Question

如题所述

Answer 1

二次函数（标准形式为 y = ax^2 + bx + c [a不等于0, a b c 均为常数]）的函数图象：

当 a > 0 时开口向上；当 a < 0 时开口向下。

对称轴为直线 x = -(b/2a)

顶点坐标是 (-[b/2a], [4ac-b^2]/[4a])

二次函数的图象

二次函数的图象是一条抛物线。

　　1、抛物线当a>0时，向上无限延伸，同时a>0，抛物线开口向上

　　　 抛物线当a<0时，向上无限延伸，同时当a<0时，抛物线开

　　　 口向下。

　　2、抛物线以y轴为对称轴，由于y轴上的点的横坐标为零，我们

　　　 也说对称轴方程为x=0。

　　3、抛物线的顶点是这样定义：抛物线与对称轴交点叫抛物线

　　　 的顶点。所以抛物线y=ax2 (a≠0)的顶点坐标为（0，0）。

　　　 这就是我们在画图象时首先确定点（0，0）的理由，再根据

　　　 抛物线关于y轴对称，我们在确定其它点时，也选对称的点，

　　　 这样既能减少运算量，又能使图象画的优美、准确。

　　4、二次函数的最大、最小值。

　　　 ①当a>0时，抛物线开口向上，它有最底点，所以存在最小值。这个最小值就是当x取顶点横坐标，

　　　　 顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。

　　　 ②当a<0时，抛物线开口向下，它有最高点，所以存在最大值。这个最大值就是当x取顶点横坐标，

　　　　 顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。

　　5、二次函数的增、减性。

　　　 ①当a>0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。

　　　 ②当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。
回答人的补充 2009-09-30 14:43 1．作法与图形：通过如下3个步骤
　　（1）列表；（2）描点；（3）连线
　　一次函数的图像是一条直线。
　　因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
　　（2）一次函数与x轴交点的坐标总是（0，b)正比例函数的图像总是过原点。
　　3．k，b与函数图像所在象限：
　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
　　自变量x和因变量y有如下关系：
　　y=kx+b
　　则此时称y是x的一次函数。
　　当b=0时，y是x的正比例函数。
　　即：y=kx （k为常数，k≠0）

Answer 2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质（2007年12月6日）
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) （-b/2a ，(4ac-b²)/4a）
对 称 轴 x=0 x=h x=h x= -b/2a
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，　　
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，
可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，
对称轴是直线x=－ b/2a，顶点坐标是（-b/2a ，(4ac-b²)/4a）．
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤－ b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥－ b/2a时，y随x的增大而增大．
若a<0，当x≤－ b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥－ b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|
　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；
　　 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=－b/2a ，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a
　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．
　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
　 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

Answer 3

题目有误：y=ax²+bx+c，少了个a

因为图象由抛物线y=-1/2x^2经过平移后得到的
所以a=-1/2
因为函数图象经过点（0，1）
所以c=1
因此函数是y=-x^2/2+bx+1
因为函数过（2，3）
所以-4/2+2b+1=3
b=2
综上，a=-1/2,b=2,c=1

Answer 4

分类讨论a的值，当a=0,1，＞1，＜1，还有计算（x）的平方+bx+c的值域