凹函数和凸函数的定义图像是什么？

Question

如题所述

Answer 1

凹凸函数的定义图像及性质如下：

函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的一个重要性质，其应用也是多方面的。

基本介绍：

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

则称f为I上的凸函数(convex function).

若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。

如果"≤“换成“≥”就是凹函数(concave function)。类似也有严格凹函数。

设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有

f((a+b)/2)> (f(a)+f(b))/2

那么称f(x)在D上的图形是（向下）凸的（或凸弧）；如果恒有

f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2

那么称f(x)在D上的图形是（向下）凹的（或凹弧）。

这个定义是直接从几何直观上得来的。如果在曲线弧上面任意取两点，连接这两点的弦总是在弧段的上方，那么曲线就是（向上）凹的，反之也有可类比的结论。取一个特殊的点，即弦的中点，曲线的凹凸性可以用弦的中点与曲线弧上具有相同坐标的点的位置关系来描述。

不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指的函数图像形状，而不是指函数的性质。在国外，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。