为什么负惯性指数为零不是实二次型f（x1，x2，……，xn)=XT A X为正定的充要条件？

Question

如题所述

Answer 1

实二次型正定的充要条件是正惯性指数为n。
而负惯性指数为0不能推出正惯性指数为n。因为正负惯性指数之和不一定是n。

举个简单的例子，三元二次型：f=x1^2+x2^2+x3^2，正惯性指数为3，正定。
而如果是f=x1^2，负惯性指数为0，但正惯性指数为1，因此不正定。
负惯性指数为0只能说明是半正定。追问

f=x1^2正惯性指数是1，N也是1，不是符合第一条实二次型正定的充要条件吗

追答

这前面不是说了吗？n为3的时候，本题x2与x3不出现，但并不代表这两个变量不存在。

比如：f=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3
这是三元二次型吧？标准化之后就变成f=y1^2了，此时y2和y3也是变量，只不过没出现，二次型仍是三元的。

Answer 2

是充要条件，同时充要条件还有顺序子式全大于零，所有特征值全大于零等