第1个回答 2019-04-27
关于这个问题,我想再给你补充一些内容:
就你问到的这个问题,是可以通过此类技巧方法来解答相关题目的,比如说,若f(x)可导,那么在x=x0处,函数的一阶二阶都=0,那么三阶不等于0是拐点还是极值点?或者三阶=0四阶不等于0又如何?诸如此类的问题。
这个是有详细证明过程的,不过证明的方法也比较的简单:
首先,假设f(x)在x=x0处n阶可导,且f(x)在x=x0的一阶二阶.....直到n-1阶导数=0,但第n阶(n〉2)导数不等于=0
先将f(x)在x0处按泰勒公式展开,f(x)=f(x0)+f(x0)一阶(x-x0)+f(x0)二阶/2!(x-x0)[平方]+...+f(x0)n-1阶/(n-1)!(x-x0)[n-1次方]+f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]
+[对(x-x0)n次方的无穷小]
因为假设了f(x)在x=x0的一阶二阶.....直到n-1阶导数=0,但第n阶(n〉2)导数不等于=0,所以展开的泰勒公式可以写为:f(x)=f(x0)+f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]++[对(x-x0)n次方的无穷小]
又因为f(x0)n阶是一个常数,如果n取偶数:
且若f(x0)n阶〉0,则无论x取值比x0小还是比x0大,f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]
都会>0,f(x)-f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]=f(x0),以至于无论在x0的邻域的左边还是右边取值,都有f(x)>f(x0),满足极小值的定义,一次是一个极小值,
若f(x0)n阶<0,则无论x取值比x0小还是比x0大,f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]
都会<0,f(x)-f(x0)n阶/(n)!(x-x0)[n次方]=f(x0),以至于无论在x0的邻域的左边还是右边取值,都有f(x)2,否则这条法则不成立,具体为什么呢?
下面给与证明:
将f(x)的二阶导数在x0处按泰勒公式展开到n-2阶注意是把f(x)的二阶导数展开而不是把f(x)展开)
f(x)的二阶导数=f(x0)的二阶+f(x0)的三阶(x-x0)+f(x0)的四阶/2!(x-x0)[平方]+.....+f(x0)的n阶/(n-2)!(x-x0)[n-2次方]+[对(x-x0)n-2次方的无穷小]
仍然按照假设,f(x)的二阶导数=f(x0)的n阶/(n-2)!(x-x0)[n-2次方]+[对(x-x0)n-2次方的无穷小],若n取奇数,n-2也必然是奇数,f(x0)的n阶/(n-2)!(x-x0)[n-2次方]的符号,无论f(x0)的n阶取正还是取负,都将在x0两侧相异,这也就说明f(x)的二阶导数的符号在x0两侧相异,满足拐点的判定定理!
这就证明了,当n>2时,当n为奇数时,(x0,f(x0))是拐点!
最后说一下,如果明白了这两个证明过程,不仅对泰勒公式有了更充分呢认识,也对这个技巧方法有了完整的认识,做题的速度应该有得提高,但是,这个技巧方法只适用于可导的函数,不适用于倒数不存在但有可能是极值点拐点的判定,所以使用受限,希望能灵活运用!