运筹学，最小费用最大流问题。

Question

某公司的西安分公司和上海分公司生产同一产品各80件，70件。这些产品全部被运往美，法，日三国。其中美国需40件，法国50件，日本60件。从西安非别运往美法日三地的单位运价分别为0.5万元，0.6万元，0.3万元，从上海运往美法日三地的单位运价为0.3万元，0.4万元，0.2万元。 如何调运，使得在满足各地需求的情况下，总支出调运陈本最小。（利用最小费用最大流理论解决）

Answer 1

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Answer 2

设西安公司运住美、法、日的件数分别为A、B、C件，上海公司运住美、法、日的件数分别为D、E、F件，总运费为H，那么：
H=0.5A+0.6B+0.3C+0.3D+0.4E+0.2F
由题意知：
A+D=40
B+E=50
C+F=60
代入得：
H=44+0.2A+0.2B+0.1C
由于150件要全部运走，所以有：
A+B+C=80
再代入得：
H=60-0.1C
C越大H越小，而C最大只能为60，此时H=54。
C=60时，F=0。A、B、D、E可能有多种解，但应尽量使西安公司发往的国家少为宜（上海公司肯定是要向美、法两个国家发的），这样办起事来简单一些。当A=20，B=0，D=20，E=50时，西安公司只发美、日两个国家；当A=0，B=20，D=40，E=30时，西安公司只发法、日两个国家。
所以最终结论，西安公司向美国发20，向日本发60，上海公司向美国发20，向法国发50；或者西安公司向法国发20，向日本发60，上海公司向美国发40，向法国发30。最小运费为54万。

Answer 3

由西安运往美法日各地/上海往美法日各地运费比例
美国 0.5/0.3=5/3
法国 0.6/0.4=3/2
日本 0.3/0.2=3/2
因为5/3>3/2,
所以由西安运往美国的成本比值比上海运往美国的比值高，若成本最小则美国的货全有上海发出：
由上海运往美国的运费：40*0.3=12（万元）
上海还剩：70－40＝30（件）
由上可知上海运往日本＼法国的成本比值与西安运往日本＼法国的成本比值是一样的。但m同地运往法日两国的差值比例：西安/上海=（0.6-0.3）/（0.4-0.2）=3/2>1,
所以由上海运往法国更实惠，
上海运往法国的费用：30*0.4=12（万元），其余由西安运往……
法国还差：50－30＝20（件）
西安运往法国费用：20*0.6＝12（万元）
西安运往日本费用：60*0.3＝18（万元）
则最低费用为＝12+12+12+18＝54（万元）

Answer 4

大哥，啥叫“最小费用最大流理论”啊？这难道不是一个最基本的线性规划问题么？还是个L.P问题...别整那么玄乎好么。设西安运往美法日三国分别为x1，x2，x3.上海运往美法日分别为y1，y2，y3.则模型为
min 0.5x1+0.6x2+0.3x3+0.3y1+0.4y2+0.2y3
s.t. x1+x2+x3=80
y1+y2+y3=70
x1+y1=40
x2+y2=50
x3+y3=60
就这么个模型，随便一本线规书上来第一节就教会你咋解了。你实在懒得看又学过高数的话， Lagrange算法求极值也可以处理，就是麻烦点儿。

Answer 5

西安 上海
美国 0.5 0.3 40
法国 0.6 0.4 50
日本 0.3 0.2 60
80 70
我这没有运筹学的书，不过我估计答案应该是上海发 40到美国，30到法国，西安发20到法国，60到日本，总运费=0.3*40+0.4*30+0.6*20+0.3*60