在三角形ABC中，角C=60度，a+b=16,求当a为多大时面积为最大值，当a为何值时周长为最小值

Question

如题所述

Answer 1

解：1）作AD⊥BC,在Rt △ACD中 ∵ <C=60度，∴ <CAD=30度∴CD=!/2AC=1/2b,AD=√3/2b
则S=!/2*a*√3/2b=√3/4ab=√3/4a(!6-a)=-√3/4a*2+4√3=-√3/4(a-8)^2+16√3
所以当a=8时，面积最大
2）第三边c最小时，三角形的周长最小
由1）可知BD=a-1/2b因为AD=√3/2b有勾股定理得c=根号下(BD^2+AD^2)=根号下[（16-b-1/2b)^2+(√3/2b)^2]=根号下【3b^2-48b+256】=根号下【3（b-8)^2+64】
所以当b=8时周长为最小值，此时a=8.即当a=8时周长为最小值。

Answer 2

接单的来说a=b的时候，面积最大，而且周长最小
要是问原因就是，做顶点A到BC边的高h
h=a*sin∠C=（√3/2）a
面积就是b*h/2=（√3/4）a*b=（√3/4）a*（16-a）= -（√3/4）a方-4√3 a
二次函数图像在a=8有最高点，就是面积的最大值

a+b=16定了，周长的大小取决于c
直角三角形勾股定理得 h方+（b-acos∠C）方=c方
把h=a*sin∠C=（√3/2）a ，b=16-a 代入整理得 c方=3a方-48a+16
有最低点的抛物线，就是在a=8时有最低点，就是最小的周长