f(X)在x=x0点的邻域内可导,且f'(x0)=0,lim(x~x0)f'(x)=1,则f(x)在x=x0能否取到极值？

Question

为什么？求详细解答！

Answer 1

由微分中值定理
f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)
ξ属于(x0,x) (x小于x0时为(x,x0))
因为lim(x~x0)f'(x)=1
对于ε=1/2,存在δ>0
|x-x0|<δ时，|f'(x)-1|<1/2
所以 f'(x)>0
所以在(x0-δ,x0+δ)
f(x0)右侧的点都大于f(x0)
f(x0)左侧的点都小于f(x0)
所以不为极值点