问一道分段函数奇偶性问题

Question

f(x)=x^2,(x大于等于0）f(x)=-x^2（x小于0）
首先判断 当x大于0时，f(x)=x^2 此时-x小于0，f(-x)=-(-x)^2=-x^2=-f(x)
当x小于0时，f(x)=-x^2 ,此时-x大于0，f(-x)=-(-x)^2=x^2=-f(x)
当x等于0，f(0)=0
所以f(x)为奇函数

我想问下 。

这两个式子最后面怎么可能都等于-f（x）呢？

当-x＜0时 f(-x)= -x的平方啊 就没有-f（x）=f(-x)了啊

当-x＞0时 f(-x)=x的平方 这时候才有-f（x）=f(-x)

Answer 1

要分清f()括号里的作用对象的范围，每次要将f()展开成式子时需根据括号里的值的范围内选取解析式。奇函数对于左右半轴上（定义域）上的任一点都有：f(-x)=-f(x)
当-x＜0时 ，f(-x)=-x^2 此时, -f(-x)=x^2,
此时因x>0, f(x)=x^2, 因此对比两式有-f（x）=f(-x)。
当-x＞0时， f(-x)=x^2, 此时-f(-x)=-x^2,
此时因x<0, f(x)=-x^2, 因此对比两式有-f（x）=f(-x)

Answer 2

现在就你想问的解答：
我想问下 。

这两个式子最后面怎么可能都等于-f（x）呢？

当-x＜0时 f(-x)= -x的平方啊 就没有-f（x）=f(-x)了啊
解释：当-x＜0时，你应该带入解释式f(x)=-x^2（x小于0）
即f（-x）=-（-x）²=-x²=-f（x）
这样明白吗？

Answer 3

是这样的
还有第一类间断点的函数肯定没有原函数
第二类间断点的函数不确定

例子：f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
这个函数在整个区间上都是可积的（有界，可数个震荡型间断点，故可积）
x^2*sin（1/x） x不等于0
原函数为连续的分段函数：{
0 x=0

因此原函数是存在的

不存在的例子很好举啊
f(x)=1/2(x^1/2) 在全定义域上无界不可积（存在x=0无穷型间断点）
因此原函数不存在
(y=x^1/2 在x=0处连续但不可导)