例题：a1=(5,2,-3,1)^t ,a2=(4,1,-2,3)^t ,a3=(1,1,-1,-2)^t ,a4=(3,4,-1,2)^t
求向量组的极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示
β=(-1,1,3,1)^T a1=(1,2,1,1)^t a2=(1,1,1,2)^t a3=(-3,-2,1-3)^t
β用其余向量组表示
在什么情况下β可以用其它向量组表示，什么情况下不能？
向量组的极大无关组满足2个条件：
1、自身线性无关。
2、向量组中所有向量可由它线性表示。
例题的解法：
构造矩阵 (a1，a2，a3，a4)，对它用行变换化成梯矩阵。
非零行的首非零元所在的列对应的向量就是一个极大无关组。
5 4 1 3
2 1 1 4
-3 -2 -1 -1
1 3 -2 2
化成了行简化梯矩阵：
1 0 1 0
0 1 -1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
所以极大无关组是: a1，a2，a4
且 a3 = a1-a2+0a4
扩展资料：
极大无关组的概念可以推广到含无限个向量的情形。因此，线性空间V的任一个基可看成V的极大无关组。特别的，齐次线性方程组的基础解系是其解空间的极大无关组。
设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
参考资料来源：百度百科——极大线性无关组
参考资料来源：百度百科——极大无关组
嘿嘿。。。麻烦了。。。
我还是不懂为什么选a1,a2,a4，我做这道题会选a1,a2,a3
1 0 1 0
0 1 -1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
你是把最后一行0舍去直接看前三行吗？
补充的题麻烦你再帮我做一下吧，为表感谢已提高悬赏~~~
记住这个方法: 非零行的首非零元所在的列对应的向量就是一个极大无关组
这里非零行的首非零元是 a11,a22,a34, 即第1,2,4列, 对应的列向量就是a1,a2,a4!
原因是最后梯矩阵的1,2,4列分别是1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,1,0 .它们显然线性无关.
由某个结论: 初等行变换不改变列向量的线性相关性, 所以原矩阵的1,2,4列也线性无关
你选的a1,a2,a3是线性相关的, 因为 a3 = a1-a2.
补充的题:
(a1,a2,a3,β)=
1 1 -3 -1
2 1 -2 1
1 1 1 3
1 2 -3 1
1.用初等行变换把它化成梯矩阵
简单说: 如果非零行的首非零元出现在最后一列, 那么β就不能用其余向量组表示
你这题恰好就出现了这个情况.
下面一步也不用做了
2. 用初等行变换继续把它化成行简化梯矩阵梯矩阵
以后一题一问, 没分我也帮你解答, 放心吧