已知数列{an}的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项;数列{bn}中,b1=1,点P(bn,b(n+1))在直线x

Question

已知数列{an}的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项;数列{bn}中,b1=1,点P(bn,b(n+1))在直线x-y+2=0上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn; (2)设{bn}的前n项和为Bn,试比较1/B1+1/B2+…+1/Bn与2的大小； (3)设Tn=b1/a1+b2/a2+…+bn/an,若对一切正整数n,Tn<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.

Answer 1

解：
(1)
an是Sn和2的等差中项，则2an=Sn +2
n=1时，2a1=a1+2 a1=2
Sn=2an-2
Sn-1=2a(n-1)-2
an=Sn-Sn-1=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an=2^n
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：bn-b(n+1)+2=0
b(n+1)-bn=2，为定值。
又b1=1，数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列。
bn=1+2(n-1)=2n-1
综上，数列{an}的通项公式为an=2^n，数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
(2)
Bn=n+2n(n-1)/2=n²
1/B1+1/B2+...+1/Bn=1/1²+1/2²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
(3)
Tn=b1/a1+b2/a2+...+bn/an
=1/2^1+3/2^2+...(2n-1)/2^n
Tn/2=1/2^2+3/2^3+...+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^1+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2^1+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=3/2-(2n+3)/2^(n+1)
Tn=3-(2n+3)/2^n<3
令f(n)=(2n+3)/2^n
f(n+1)-f(n)=(2n+5)/2^(n+1)-(2n+3)/2^n=-(2n+1)/2^(n+1)<0
f(n+1)<f(n)
随n增大，(2n+3)/2^n单调递减，(2n+3)'/(2^n)'=2/[n2^(n-1)]，当n->∞时，(2n+3)/2^n->0，
Tn->3。
要对一切正整数n，Tn<c恒成立，则c≥3，c的最小值为3。

Answer 2

（1）
an是Sn与2的等差中项 =>Sn+2=2an Sn=2an-2
n=1时, s1=2a1-2 a1=2
n>=2时，an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
{an}是以2为首项，2为公比的等比数列
an=2^n
综上所述an=2^n
bn-b(n+1)+2=0
{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列
bn=1+2(n-1)=2n-1
（2）
Bn=n[1+(2n-1)]/2=n^2
n=1时，1/B1<2
n>1时，1/Bn=1/n^2<1/(n+1)(n-1)=1/2[1/(n-1)-1/(n+1)]
1/B1+1/B2+...+1/Bn=1+1/2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/2*n/(n+1)<1+1/2<2
所以1/B1+1/B2+…+1/Bn<2
(3)
bn/an=(2n-1)/2^n
Tn错位相减
Tn=1/2^1+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
2Tn=1+3/2^1+5/2^2+...+(2n-1)/2^(n-1)
2Tn-Tn=1+2/2^1+2/2^2+2/2^3+...+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
Tn=1+2/2^1*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
靠，无语死了，下面的自己化简吧
不采纳就对不起人

Answer 3

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