如何理解极限的定义？

Question

如题所述

Answer 1

极限的定义就是：
对任意e>0，
存在N,N是一特定数，n>N时，|a(n)-A|<e，则说a(n)的极限是A
下证：
对任意e>0
由于偶数项和奇数项极限时是A
偶数时，存在N1,n>N1, |a(n)-A|<e
奇数时，存在N2,n>N2，|a(n)-A|<e
N3=MAX{N1,N2}
n>N3，|a(n)-A|<e，此时对偶数奇数都成立，所以数列极限时A

充分性很简单
必要性：
函数存在极限，显然左右都有，函数f(x)当x→x。，可以是x→x-,x→x+所以左右都存在，设分别为A,B,若A不等于B，令A>B,取e=(A-B)/2,
x→x- ,|f(x)-A|<e
x→x+,|f(x)-B|<e
(A-B)/2<f(x)<(A+B)/2
(B-A)/2<f(x)<(A-B)/2

还是采用定义来证明
1.奇偶极限都存在设为a。则对任意正数e1、e2，存在N1、N2.有|a2m+2-a2m|《e1
|a2m+a2m+1|《e2
令e=max{e1,e2}N=max{N1,N2}
则n>N时有|an+1-an|《e
得证。下标没法表示，凑合着看吧
2.采用反证法，原理跟上一问相通