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数列有界是数列收敛的什么条件?
为什么答案是B,不是有极限一定有界而有界不一定有极限么?
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推荐答案 2019-12-04
他这里有界的是数列的和Sn,不是数列an本身
因为an>0,一个正项数列的和一定是递增的,同时还有界,所以n趋于无穷时an的极限一定是0,所以an一定收敛
而如果an收敛,若不是收敛到0,则Sn一定不是有界。如果收敛到0,则Sn也不一定有界,比如
调和级数
就是发散的
所以这个题选B
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第1个回答 2019-12-21
请你搞清楚,收敛一定有界是针对同一个数列来说的,现在一个是Sn有界,一个是an收敛,你可以直接套用这个定理?
an>0,Sn有界,根据正项级数收敛的判定定理,Sn收敛.再根据级数收敛的必要条件,得an收敛.所以从Sn有界可以推出an收敛,充分性得证.
而an收敛,Sn不一定有界,例如调和级数Sn=1+1/2+1/3+...,an=1/n收敛,但Sn发散,即无界,所以必要性不得证.
所以是充分非必要条件.
第2个回答 2020-04-13
数列收敛是数列有界的必要而不充分条件,没有界数列一定发散,所以有界是收敛的必要条件,但是有界数列不一定收敛,有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。
如果数列Xn收敛,每个收敛的数列只有一个极限。如果数列Xn收敛,那么该数列必定有界。数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的。
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