看图，求矩阵A的n次方。

Question

如题所述

Answer 1

这个题吧，属于《矩阵论》的内容。
一般来说，A^n就是先对角化再求n次方。但是如果A不能对角化，《线性代数》就没办法了。《矩阵论》中有进一步的讨论，叫做“矩阵的Jondan标准型”。可以解决所有此类问题。
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以上是随便说一点，楼主有兴趣可以去学。咱不懂《矩阵论》也是可以做的。
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A=B+C，其中
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

C=
0 2 3
0 0 4
0 0 0

并且BC=CB，是可以乘法可交换的。因此A^n=(B+C)^n，可以用类似二项式定理的形式展开。
=B^n + nB^(n-1)C + ...

我们发现C的3次方以上都是零矩阵！！
所以展开式中其实只有前面的3项而已。
B^n=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

nB^(n-1)C=
0 2n 3n
0 0 4n
0 0 0

[n(n-1)/2]*B^(n-2)C^2=
0 0 4n(n-1)
0 0 0
0 0 0

把这三项加起来就是最后结果了
1 2n 3n+4n(n-1)
0 1 4n
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Answer 2

不是实对称矩阵求不了。。。。。。只能自己慢慢算 在找规律了。。。。

Answer 3

先把它对角化追问

已经对角化了

追答

不是吧！！！题目里面的A只是上三角矩阵，这还没有对角化呢。
对角化之后，应该是对角阵，对角阵是指，除主对角元外，其他元素都为0的矩阵。
求A的特征值，看每一个 λ 的几何重数和代数重数是否相等，如果每一个都相等，则可对角化，
变换矩阵是以特征向量为列向量构成的。写出变换矩阵P之后，对角化矩阵就是由特征值构成的，然后再求幂就好做了。