求矩阵A的n次方

Question

如题所述

Answer 1

这个题吧，属于《矩阵论》的内容。
一般来说，A^n就是先对角化再求n次方。但是如果A不能对角化，《线性代数》就没办法了。《矩阵论》中有进一步的讨论，叫做“矩阵的Jondan标准型”。可以解决所有此类问题。
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以上是随便说一点，楼主有兴趣可以去学。咱不懂《矩阵论》也是可以做的。
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A=B+C，其中
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

C=
0 2 3
0 0 4
0 0 0

并且BC=CB，是可以乘法可交换的。因此A^n=(B+C)^n，可以用类似二项式定理的形式展开。
=B^n + nB^(n-1)C + ...

我们发现C的3次方以上都是零矩阵！！
所以展开式中其实只有前面的3项而已。
B^n=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

nB^(n-1)C=
0 2n 3n
0 0 4n
0 0 0

[n(n-1)/2]*B^(n-2)C^2=
0 0 4n(n-1)
0 0 0
0 0 0

把这三项加起来就是最后结果了
1 2n 3n+4n(n-1)
0 1 4n
0 0 1

Answer 2

这个矩阵可以写成[2,1,4]^T*[1,2,-3]，然后n个A相乘就是[2,1,4]^T*[1,2,-3]*[2,1,4]^T*[1,2,-3]*...*[2,1,4]^T*[1,2,-3]，通过矩阵乘法的结合律，可以写成[2,1,4]^T*([1,2,-3]*[2,1,4]^T)*([1,2,-3]*...*[2,1,4]^T)*[1,2,-3]，然后就是[2,1,4]^T*(-8)^(n-1)*[1,2,-3]，把(-8)^(n-1)挪到前面，就是(-8)^(n-1)A追问

就是怎么想到第一步的？

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