求椭圆内接四边形最值

Question

P.Q.M.N四点都在椭圆x^2+y^2/4上，F为椭圆在y轴正半轴焦点，已知PQ垂直于MN，求四边形PQMN面积最大值和最小值

亲们，帮帮忙啊~~~详细解答有追加~~~

Answer 1

解：显然，四边形PQMN应是椭圆的内接矩形。设P（x,y）在第一象限（x≥0,y≥0），则矩形PQMN的面积S=4xy.由椭圆方程知x^2+y^2/4=1，即4x^2+y^2=4，可以写成（2x）^2+y^2=4.于是，S=4xy=2*(2x)*(y) ≤（2x）^2+y^2=4.即S有最大值4。仅当2x=y时取得最大值。将y=2x代入椭圆方程可得x=√2,y=2√2.这个最大面积是S=4*√2*2√2=16.最小值为0.
以上供你参考。

Answer 2

椭圆方程是x^2+y^2/4＝1吧？追问

嗯~~不好意思是的，打的太着急了，还有~~题目中条件“已知PQ垂直于MN”要补充一下，垂足在F点处~~麻烦了呢~~

追答

PQ垂直于MN，垂足在F点处，则PQ和MN在椭圆内相交于F，四边形PQMN是一个星形多边形，题意是这样的吧？

追问

是的~~

追答

对于这种星形四边形，如果按有向多边形来理解，其面积应为两个相对的三角形的面积差的绝对值，但题中未注明是求有向四边形的面积最值，是否应理解成求相对两个三角形面积的和的最值？