椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1相交于A,B两点，C为AB中点，｜AB｜=2√2，O为坐标原点，OC的斜率为√2/2

Question

求椭圆方程

Answer 1

设A（x1，y1），B（x2，y2），用点差法得，
a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0，(y1-y2)/(x1-x2)= -1，
所以OC的斜率=(y1+y2)/(x1+x2)=a/b=√2/2，所以a√2=b， ①
所以椭圆ax^2+(√2)ay^2=1，与直线x+y-1=0联立，得
ax^2+b(x-1)^2=1
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
x1+x2=2b/(a+b)
x1x2=(b-1)/(a+b)
再由|AB|=2√2=[√(1+kAB^2)]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2]√2，
即2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√{[2b/(a+b)]^2-4[(b-1)/(a+b)]} 两边平方得
b^2=(a+b)(b-1)化简得　a+b=ab　②
将①②联立方程组
最后解得a=(2+√2)/2，b=1+√2
所以椭圆方程为[(2+√2)/2]x^2+(1+√2)y^2=1

Answer 2

椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点,|AB|=2√2,O为坐标原点，OC的斜率为（√2）/2
直线OC:y=x√2/2
直线AB:x+y-1=0
上式联解得到C点坐标
x+(√2/2)x-1=0
xC=2/(2+√2),yC=√2/(2+√2)
C[2/(2+√2),√2/(2+√2)]
xA+xB=2xC=4/(2+√2),yA+yB=2yC=2√2/(2+√2)
由直线x+y-1=0
得y=1-x，带入椭圆方程
ax²+by²=1
ax²+b(1-x)²=1
(a+b)x²-2bx+b-1=0
xA+xB=2b/(a+b)=4/(2+√2),b=(√2)a
xA*xB=(b-1)/(a+b)=(√2a-1)/(a+√2a)
(xA+xB)²=8/(3+2√2)
(xA-xB)²=(yA-yBV)²=(xA+xB)²-4xA×xB=8/(3+2√2)-4(√2a-1)/(a+√2a)
(xA-xB)²+(yA-yB)²=AB²
2[8/(3+2√2)-4(√2a-1)/(a+√2a)]=(2√2)²=8
2/(3+2√2)-(√2a-1)/(a+√2a)=1
2/(3+2√2)-1=(√2a-1)/(a+√2a)
(-1-2√2)/(3+2√2)=(√2a-1)/(a+√2a)
a=1/3
b=(√2)a=√2/3
椭圆方程为x²/3+√2y²/3=1