应该说“正定二次型”，它对应的矩阵式正定矩阵，关于正定矩阵有一些非常好的性质：
1、特征值全大于零。
2、具有平方根分解A=P'P。（利用这个结论容易证明关于半正定矩阵的一个非常有用的结论：半正定正定矩阵一旦主对角元出现0，那么该行该列必全为0）。
3、所有的顺序主子式大于零。（这个性质有更一般的结论，要利用Laplace定理，不再多说）。
4、可看作欧式空间中一组基的度量矩阵。（这个性质常常用来证明一个矩阵正定，我们只需找到一个欧式空间的一组基并证明这个矩阵就是这组基在内积下的度量矩阵即可说明其正定）。
事实上还有一些小结论：
比如他的定义就是任意的n维向量有X'AX>0。
还有一个结论，两个n阶半正定矩阵可同时对角化。（首届全国大学生数学竞赛决赛试题）
追问谢谢您的详细回答，您的回答4和以下的我都不需要了，我学的没这么难
我想问的是，如果是一般的二次矩阵，有化成正定二次矩阵的必要么？转化后什么改变了，什么没改变？（这个很重要）
还有您的回答中“2、具有平方根分解A=P'P”这个我不懂什么意思，什么是平方根分解？太久没摸数学了，有些初等数学的东西有些模糊。
追答一般的矩阵化为正定矩阵？不知此话何意。
我想你应该是说把一个二次型化为标准型或者规范型吧。由于这里一直在做合同变换，因此会一直保持正负特征值的个数不变（注意这里不能保证特征值不变，但是相似变换可以），这里正负特征值的个数也就是所谓的正负惯性指数。
至于4，简单说明一下，设矩阵A正定，因此其合同与单位阵，即：
A=P'EP=P'P