A是n阶方阵，且满足A^2=E，证明：A一定能相似于对角矩阵
第1个回答 2016-08-28
证明:因为 A^2=A,所以 A(A-E)=0
所以 r(A)+r(A-E)
追问然后？？？
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设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵?答：因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得：Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.则:A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2 A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2 ....