二进制数
一、二进制数的表示法
二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。二进制数也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数110.11，其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。对于有n位整数，m位小数的二进制数用加权系数展开式表示，可写为：
（N）2＝an-1×2n-1+an-2×2n-2+……+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2
+……+a-m×2-m＝
式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。
二进制数一般可写为：（an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m）2。
【例1102】将二进制数111.01写成加权系数的形式。
解： （111.01）2＝1×22+l×21+1×20+1×2-2
二、二进制数的加法和乘法运算
二进制数的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。
1. 二进制加法
有四种情况： 0+0＝0
0+1＝1
1+0＝1
1+1＝0 进位为1
【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和
解： 1 1 0 1
+ 1 0 1 1
1 1 0 0 0
2. 二进制乘法
有四种情况： 0×0＝0
1×0＝0
0×1＝0
1×1＝1
【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积
解： 1 1 1 0
× 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 0
+ 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0
莱布尼茨、二进制与八卦
二十世纪以来，中国知识分子对自己文化的感情与评价有一种有趣的依赖性，他们的民族认同，文化认同，他们的自信与自卑，完全建立在与西方的比较和西方学者对中国文化的评价之上。五四人所提倡的“借鉴”与“引进”早已成了全面的替代，离开了西方的概念与方法系统，我们今天就不会做任何（具有学术价值的）研究；离开了西方人对中国的评价，我们今天就没有办法自知妍蚩。就连我们民族的感情，也主要要看洋人的眼色。李约瑟对中国古代科学技术发展的研究与结论，在当今具有不能质疑的权威地位。德国哲学大师黑格尔曾经轻率地批评过孔子的思想，这也成了喜欢反思中国文化传统的知识分子们否定儒家思想的有力论据之一。那些热爱中国文化，但又怀着深刻自卑感的知识分子们，又屡屡引徵西方人对中国古代“奇迹”的发现与赞叹，以求获得心理上的平衡。总之，没有西方，中国真是国而不国了。
一个常常触动中国知识分子的爱国情结的故事，是德国通才大师莱布尼茨首创的二进制，特别是他对《周易》中的二进制系统的发现。随着计算机技术在现代生活与经济中的重要性逐渐获得普遍的认识，二进制的声价也一跃千仗。中国人才是二进制的真正发明者，这个震撼人心的“事实”令怀古的知识分子沾沾自喜，令崇洋的知识分子感慨万千--我们为什么就没有在《周易》二进制的基础上发明电脑，看来，还是人家洋人伟大啊！
莱布尼茨的二进制
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（Schlossbiliothke zu Gotha）保存着一份弥足珍贵的手稿，其标题为：
“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”
这是德国通才大师莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 - 1716）的手迹。但是，关于这个神奇美妙的数字系统，莱布尼茨只有几页异常精炼的描述。用现代人熟悉的话，我们可以对二进制作如下的解释：
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
以此类推。
把等号右边的数字相加，就可以获得任意一个自然数。我们只需要说明：采用了2的几次方，而舍掉了2几次方。二进制的表述序列都从右边开始，第一位是2的0次方，第二位是2的1次方，第三位时2的2次方……，以此类推。一切采用2的成方的位置，我们就用“1”来标志，一切舍掉2的成方的位置，我们就用“0”来标志。这样，我们就得到了下边这个序列：
1 1 1 0 0 1 0 1
2的7次方
2的6次方
2的5次方
0
0
2的2次方
0
2的0次方
128
+
64
+
32
+
0
+
0
+
4
+
0
+
1
=
229
在这个例子中，十进制的数字“229”就可以表述为二进制的“11100101”。任何一个二进制数字最左边的一位都是“1”。通过这个方法，用1到9和0这十个数字表述的整个自然数列都可用0和1两个数字来代替。0与1这两个数字很容易被电子化：有电流就是1；没有电流就是0。这就整个现代计算机技术的根本秘密所在。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/18536.htm