二次函数最值问题解题技巧

Question

如题所述

Answer 1

二次函数最值问题解题技巧如下：

1、图像法求解

根据具体的图像，以及二次函数的具体表达式，可以求出二次函数的最值，例如下图的图像，看到图像开口向下，图像的顶点是（2,6），可知二次函数的最大值是6。

2、配方法求解

形如y=ax^2+bx+c的二次函数的配方方法如下

y=a(x+b/2a)^2+(b^2+4ac)/4a,当x=-b/2a时，二次函数的最值是(b^2+4ac)/4a，如果a>0,则有最小值(b^2+4ac)/4a，当a<0时，则有最大值(b^2+4ac)/4a。这种方法的表达式可以写成y=a(x+h)^2+k,当x=-h时，有最值k,若a>0,则有最小值k,若a<0,则有最大值k。

例如求y=-3x^2+6x+15的最值，就是对二次函数的表达式进行配方，变成-3（x-1)^2+18,因为a<0,因此有最大值18.

例如求y=x^2+6x-3的最小值，进行配方可得原式=（x+3）^2-12,函数有最小值-12.

3、区间二次函数求最值

这个时候，必须要借助图像才能更直观地进行求解，如果函数定义域在某个区间，通过绘制函数图像，然后可以看出函数的最大值和最小值分别是多少。

例如求函数y=x^2-4x+6(-1≥x≥6）的最大值和最小值。下图是具体的图像，从图像中可以看出B点是最高点，C点是最低点，因此在B点此函数有最大值，C点有最小值。此函数的图像在B点时的值是18，C点时的最小值是2.

总之：求二次函数的最值，要掌握二次函数解析式的性质，再根据各种具体的情况，采取合适的方法求最值。只要多做相关的题目，就会积累更多解题的经验，通过多次的练习，对二次函数的知识更加熟悉。