合同变换得到的对角矩阵对角线上的元素可以为0吗？为什么？与正交变换在这点上又有何区别？

Question

如题所述

Answer 1

当然可以，而且化成对角阵之后对角线上是否出现零和合同变换的选取无关，是矩阵本身固有的性质（见惯性定理）。
至于正交变换，只不过是特殊的合同变换，对于对角线上零元的问题而言没有任何不同，但是需要注意的是非零元会有区别。
用正交变换对角化后得到的对角元是矩阵的特征值，而普通的合同变换只能保证对角元的符号，数值大小则可以随意调节，所以实对称矩阵A在正交相似变换（正交合同变换）下的标准型是以A的特征值为对角元的对角阵（除了次序之外没有任何松动余地），而普通合同变换的标准型的对角元则只是一批正数、一批负数、还有一些零（习惯上把所有正数取1，负数取-1）。追问

嗯，明白了，另外还问一个小问题，在这里一起问下：
（8）设A=（α1 α2 α3 α4）是四阶方阵,Ax=b的通解为(2,1,3,6)T+k(1,-3,2,0)T，
问：1）α1能否由α2,α3线性表示；
2）α4能否由α1,α2,α3线性表示。
这是一道非常基础的题目，但是这题答案没有解析，而我的答案又和它不一样，所以想来确认一下，我的答案是：（1）否；（2）能。而参考答案刚好相反。哪个对？

追答

(1,-3,2,0)^T是Ax=0的基础解系，首先要满足方程，直接代进去得到α1-3α2+2α3=0，所以α1=3α2-2α3。另一方面α1-3α2+2α3=0是唯一的约束条件，所以α4不能由α1,α2,α3线性表示。
你的答案像是纯粹靠猜的，自己看看哪里出问题了。

追问

原来我没有真的懂，答案一般式不会错的，幸亏问了下，感谢了！

来自：求助得到的回答