肇事司机逃逸最佳的处理办法是向公安机关交通管理部门报警。
交警接到报案后，应当根据当事人的陈述、证人的证言、调查交通事故留下的痕迹线索等，侦查立案，并发布公告，呼吁社会提供线索、举报交通肇事逃逸车辆，协助侦查。
处罚如下：
1、对造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关处200元到2000元罚款，可以并处15日以下拘留；
2、造成交通事故后逃逸的，由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证；
3、交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
4、交通肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，会判处三年至七年有期徒刑；
5、肇事后，因逃逸导致人死亡，判处七年以上有期徒刑。
交通肇事司机逃逸交警的处理流程：
1、公安机关交通管理部门应当根据管辖区域和道路情况，制定交通肇事逃逸案件查缉预案，并组织专门力量办理交通肇事逃逸案件;
2、发生交通董事逃逸案件后，公安机关交通管理部门应当立即启动查缉预案，布置警力堵截，并通过全国机动车缉查布控系统查缉;
3、案发地公安机关交通管理部门可以通过发协查通报、向社会公告等方式要求协查、举报交通董事逃逸车辆或者侦破线索；
4、发出协查通报或者向社会公告时，应当提供交通董事逃逸案件基本事实、交通董事逃逸车辆情况、特征及逃逸方向等有关情况;
5、接到协查通报的公安机关交通管理部门，应当立即布置堵截或者排查；
6、发现交通董事逃逸车辆或者嫌疑车辆的，应当予以扣留，依法传唤交通董事逃逸人或者与协查通报相符的嫌疑人，并及时将有关情况通知案发地公安机关交通管理部门;
7、案发地公安机关交通管理部门应当立即派交通警察前往办理移交；
8、公安机关交通管理部门查获交通董事逃逸车辆或者交通董事逃逸嫌疑人后，应当按原范围撤销协查通报，并通过全国机动车缉查布控系统撤销布控。
肇事司机逃逸的具体处罚如下：
1、交通肇事司机逃逸尚未构成犯罪的处罚:
（1）造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留；
（2）机动车驾驶人造成致人轻伤以上或者死亡的交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，一次记12分;
（3）机动车驾驶人造成致人轻微伤或者财产损失的交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，，一次记6分
2、交通肇事司机逃逸构成犯罪的处罚:
（1）造成交通事故后逃逸，构成犯罪的，由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证.
（2）违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
（3）如果伤者没有死亡，但行为人在交通董事后为逃避法律追究，将被害人带离事故现场后隐藏或者遗弃，致使被害人无法得到救助而死亡或者严重残疾的，应当分别依照刑法第二百三十二条、第二百三十四条第二款的规定，以故意杀人罪或者故意伤害罪定罪处罚。
（4）醉酒驾驶机动车，构成危险驾驶罪，造成交通事故后逃逸，尚未构成其他犯罪的，依照危险驾驶罪的规定从重处罚。