如图,已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E.F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA=T(0≤T≤1),
(1)若OF与GE相交与P点,试用向量AB、AD表示向量OP
(2)问GE与OF是否垂直?说明理由
谢谢大家帮忙
如果不按坐标系来解呢?
追答证明过程就不详细写了(都是向量,所以向量两个字也不写了)
OF=AF-AO=AD+DF-AO=AD+(1/2-t)AB,由共线OP=λOF(λ≠0)
GE=AE-AG=AB+BE-AG=(2t-1)AD+AB,由共线GP=μGE(μ≠0)
又OP=AP-AO=AG+GP-AO=(2μt-t-μ+1)AD+(μ-1/2)AB
=λOF=λAD+λ(1/2-t)AB
∴2μt-t-μ+1=λ,(μ-1/2)=λ(1/2-t)
解得λ和μ,代回原来OP的两个表达式中任意一个即可,仍然要对t=1/2和t≠1/2分类讨论
用坐标法的好处只是可以不用拐弯去想OP是那几个向量合成出来的,直接求P坐标即可,两个方法计算量其实差不多
第二问知GE·OF=[(2t-1)AD+AB]·[AD+(1/2-t)AB]=(2t-1)AD²+(1/2-t)AB²
(∵AD和AB垂直,∴AD·AB=0,千万不要去算AD·AB项的系数)
=(2t-1)×4²+(1/2-t)(4a)²(向量的平方等于向量模的平方)
=32t-16+8a²-16a²t=16(2t-1)-8a²(2t-1)=(16-8a²)(2t-1)
若GE、OF垂直,(16-8a²)(2t-1)=0
∵a>0 ∴a=√2或t=1/2
∴当且仅当t=1/2或者a=√2时,GE和OF垂直
其实可以看到几何方法也是依靠两个垂直的向量(AB、AD)和共线的原理,所以要用比较好想的坐标方法还是过程看起来比较精简(虽然那个μ和λ一样不好算)的几何法只关乎你第一眼想到的方法是什么。给一个坐标轴其实算是降低难度了。