首先无穷小是一个变量,因此任何说它是什么什么数的说法均是错误的,其次这个变量在某个变量(
自变量)变化的过程(极限过程)中,无限的逼近数0(极限为0)。因此它也不是“函数的极限”(函数的极限就是一个常数)。因为前辈们给它个“无穷小”的名字,所以从字面上容易混淆,好像是最小的数、很小很小的数。理解它的关键是变化,是“逐渐”接近0,并且是在一个过程中实现的。 所以提到
无穷小量,必要提极限过程,正如1/(x-2),当x→2时它无限逼近0(极限为0),但其它过程则不是。直接说1/(x-2)是无穷小是错误的,必须加上x→2,即1/(x-2)是x→2过程下的无穷小。正因为他是变化的,所以对于给定的多么小的正数,它总能在自变量某个取值范围内(一般不是对所有的自变量取值,这也提示我们必须要指明极限过程),
绝对值比这个正数小。这就是叫无穷小的原因。特殊的当数0看成自变量任何变化时,
因变量均为0时的函数(即作为一个函数值不变的变量),它也是一个无穷小量。这是唯一一个“数”是无穷小(本质还是函数即变量)。