原函数用分部积分法怎么求出来的，求详细步骤

Question

如题所述

Answer 1

分部积分法是求不定积分中的一种方法，它可以将一个积分转化为一个或多个比较简单的积分。

设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导函数，则根据分部积分公式：

$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$

可以得到一个积分的结果。其中 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别是 $u(x)$ 和 $v(x)$ 的导数。

我们可以按照以下步骤使用分部积分法求不定积分：

首先，选取两个可导函数 $u(x)$ 和 $v'(x)$，使得 $u(x)$ 在求导后比较容易，而 $v'(x)$ 在积分后比较容易。

根据分部积分公式，将原积分表达式中的 $u(x)$ 和 $v'(x)$ 分别对应到公式中的 $u(x)$ 和 $v'(x)$。

将公式中的 $v(x)$ 和 $u'(x)$ 分别求出，这样我们就得到了一个新的积分表达式。

重复步骤 1~3 直到新的积分表达式可以比较容易地求出为止。

最终，我们可以得到原函数。

举例说明：

假设我们要求 $\int x e^x dx$ 的原函数。

首先，我们选取 $u(x)=x$ 和 $v'(x)=e^x$，那么有：

$$\begin{aligned} \int x e^x dx &= x\int e^x dx - \int (\int e^x dx) dx \ &= xe^x - \int e^x dx \ &= xe^x - e^x + C \end{aligned}$$

其中 $C$ 是常数项，可以根据边界条件求解。因此，$\int x e^x dx = xe^x - e^x + C$。

注意，分部积分法需要一定的技巧和经验才能选取合适的 $u(x)$ 和 $v'(x)$。有时候，我们需要进行多次分部积分才能得到结果。

Answer 2

应该是个全微分：G(x)=(∫[a,x] f(t)dt)' ∫[x,b]g(t)dt + ∫[a,x] f(t)dt (∫[x,b]g(t)dt)'=(∫[a,x] f(t)dt ∫[x,b]g(t)dt)'=F(x)'追问

emmmmm，这个步骤倒是可以理解，不过我想知道题目说用分部积分法求不定积分，这题目如何用的分部积分法orz

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Answer 3

看不清…………