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    • 设f`(x)在(a,b)内连续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f(x)dx从a到b的积分=0,求证 在(a,b)内至...

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    第1个回答  2013-12-04
    证明：设g(x)=f(x)-f'(x)，则有g(x)在区间（a,b）连续
    若f(x)恒等于0，结论显然成立；若f（x）不恒为零，则由f(a)=f(b)=0，且f(x)dx从a到b的积分为零，则f（x）在(a,b)上不定号，则不妨设存在a<c1<c20,f(c2)<0，又因为f（x）连续，根据介值定理，存在c，c1<c<c2，满足，f（c）=0。在（a,c）和（c,b）上运用Rolle定理，我们可以得到存在d1,d2，满足：a<d1<c，c<d20;f'(d2)=0,f(d2)0,g(d2)=f(d2)-f'(d2)<0，再次用介值定理，存在x1，d1<x1<d2，满足g(x1)=f(x1)-f'(x1)=0,，即证。
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