设f(x)在(a,b)上连续在(a,b)内二阶可导,且有f(a)=f(c)=f(b),证明:存在ξ∈(a,b),f''

Question

设f(x)在(a,b)上连续在(a,b)内二阶可导,且有f(a)=f(c)=f(b),证明:存在ξ∈(a,b),f''(ξ）＝0

Answer 1

证：
f(x)在[a，c]上连续，且在(a，c)内可导
f(a)=f(c)
由罗尔中值定理得：在(a，c)内至少存在一点η₁，使得
f'(η₁)=[f(c)-f(a)]/(c-a)=0
同理，在(c，b)内至少存在一点η₂，使得
f'(η₂)=[f(b)-f(c)]/(b-c)=0
由罗尔中值定理得：在(η₁，η₂)内，至少存在一点ξ，使得
f''(ξ)=[f(η₂)-f(η₁)]/(η₂-η₁)=0
η₁∈(a，c)，η₂∈(c，b)
因此，在(a，b)内，存在ξ使得f''(ξ)=0

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